Adi Diferensial Tenlikler - Wikipedia

Sərbəst dəyişən ${\displaystyle x}$, axtarılan funksiya ${\displaystyle y\left(x\right)}$ və onun törəməsi ${\displaystyle y^{\prime }\left(x\right)}$ arasıda verilmiş$${\displaystyle F\left(x,y,y^{\prime }\right)=0\,\,\,(1)}$$münasibətinə birtərtibli adi diferensial tənlik deyilir.Aydındır ki, ${\displaystyle F\left(x,y,z\right)}$ funksiyası ${\displaystyle x,y}$ dəyişənlərinin birindən və ya hər ikisindən asılı olmaya da bilər, lakin (1) tənliyinin diferensial tənlik olması üçün bu funksiya ${\displaystyle z}$- dən hökmən asılı olmalıdır.$${\displaystyle y^{\prime }=f\left(x,y\right)\,\,\,\,\,\,\,(2)}$$şəklində olan tənliyə törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli aid diferensial tənlik deyilir.

Tutaq ki, ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ funksiyası ${\displaystyle XOY}$ müstəvisinin muəyyən bir ${\displaystyle D}$ oblastında təyin olunmuşdur.

Оblast dedikdə, aşağıdakı 2 şərtini ödəyən boş olmayan ${\displaystyle D}$ nöqtələr çoxluğu başa düşülür:

1) ${\displaystyle D}$ açıq çoxluqdur, yəni onun hər bir nöqtəsi özünün müəyyən bir ətrafı ilə bu çoxluğa daxildir;

2) ${\displaystyle D}$ çoxluğu əlaqəli çoxluqdur, yəni onun istənilən iki nöqtəsini tamamilə ${\displaystyle D}$ – nin daxilində yerləşən və təşkilediçilərinin sayı sonlu olan sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək olar.

Tərif. Əgər ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ inteqralında diferensiallanan ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ funksiyası $${\displaystyle {\begin{array}{l}{1.\,\left(x,\varphi \left(x\right)\right)\in D,\,\,x\in \left(a,b\right)}\\{2.\,\varphi \left(x\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right),\,\,x\in \left(a,b\right)}\end{array}}}$$şərtlərini ödəyirsə, həmin funksiyaya (2) tənliyinin ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ intervalında həlli deyilir.

Bəzən diferensial tənliyin həllinin qeyri – aşkar funksiya kimi və ya parametrik şəkildə tapmaq əlverişli olur.

Tərif. Əgər$${\displaystyle \phi \left(x,y\right)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}$$bərabərliyindən qeyri – aşkar funksiya kimi təyin olunan ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ funksiyası (2) tənliyinin həlli olarsa, (3) münasibətinə (2) tənliyinin qeyri – aşkar şəkildə həlli deyilir.

Tərif. Parametrik şəkildə verilmiş

$${\displaystyle x=\varphi \left(x\right),y=\psi \left(t\right),t\in \left(\alpha ,\beta \right)\,\,\,\,\,\,\,(4)}$$funksiyası hər bir ${\displaystyle t}$ üçün:

1) ${\displaystyle \left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)\in D}$

2) ${\displaystyle x^{\prime }=\varphi ^{\prime }\left(t\right),y^{\prime }=\psi ^{\prime }\left(t\right),\left(\varphi ^{\prime }\left(t\right)\neq 0\right)}$ sonlu törəmələri və

3) ${\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime }\left(t\right)}{\varphi ^{\prime }\left(t\right)}}=f\left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)}$ bərabərliyi ödənirsə, onda (4) funksiyasına (2) tənliyinin ${\displaystyle \left(\alpha ,\beta \right)}$ inteqralında parametrik şəklində həlli deyilir.

Misallar: 1. ${\displaystyle y^{\prime }=2x}$ tənliyi birtərtibli aidi diferensial tənlikdir. İnteqral hesabından bilirik ki, onun həlli ${\displaystyle y=x^{2}+c\,\,\left(-\infty <x<+\infty \right)}$ düsturu ilə təyin olunur. Bu düsturdan görürük ki, ${\displaystyle y^{\prime }=2x}$ tənliyi bir yox, sonsuz sayda həllə malikdir. Burada ${\displaystyle C}$ ixtiyari sabitdir.

Ümumiyyətlə, ${\displaystyle y^{\left(n\right)}=0}$ ${\displaystyle n}$ - tərtibli tənliyin həlli isə ${\displaystyle n}$ dənə sabitdən asılı olan $${\displaystyle y=c_{1}x^{n-1}+c_{2}x^{n-2}+...+c_{n-1}x+c_{n}}$$həllər ailəsinə malikdir.

2. ${\displaystyle y=e^{2x}+e^{x}}$ funksiyası ${\displaystyle y^{\prime }=y+e^{2x}}$ tənliyinin həllidir.

Doğrudan da, ${\displaystyle y=e^{2x}+e^{x}}$ funksiyası ${\displaystyle \left(-\infty ,+\infty \right)}$ inteqralında təyin olunmuş və diferensiallanandır, onu tənlikdə nəzərə alsaq$${\displaystyle 2e^{2x}+e^{x}=e^{2x}+e^{x}+e^{2x}}$$${\displaystyle x}$- in bütün qiymətlərində doğru olduğunugörərik.

3. ${\displaystyle x=a\cos t,\,\,y=b\sin t}$ funksiyası ${\displaystyle y^{\prime }=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {x}{y}}}$ tənliyinin aralığında həllidir.

Doğrudan da $${\displaystyle {\frac {b\cos t}{-a\sin t}}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {a\cos t}{b\sin t}}}$$fiziki, mexanika və s. kimi müxtəlif elm sahələrinin və texnikanın bir çox mühüm məsələlərinin həlli diferensial tənliklərə gətirilir. Bunu aşağıdakı misalda izah edək.

Kütləsi ${\displaystyle m}$ olan maddi nöqtə müəyyən yüksəklikdən ağırlıq qüvvəsinin təsiri ilə sərbəst düşür. Havanın miqavimətini nəzərə almadan nöqtəyə təsir edən ${\displaystyle F}$ qüvvəsi onun hərəkətinin ${\displaystyle a}$ təcili vasitəsilə$${\displaystyle F=ma}$$kimi tapılır (Nyuton II qanunu). Nöqtəyə ancaq ağırlıq qüvvəsi təsir etdiyindən ${\displaystyle F=p=mg}$ olar.

$${\displaystyle {\begin{array}{l}{a={\frac {d^{2s}\left(t\right)}{dt^{2}}}=S^{\prime \prime }\left(t\right)}\\{S^{\prime \prime }\left(t\right)=g}\\{S\left(t\right)={\frac {gt^{2}}{2}}+c_{1}t+c_{2}}\end{array}}}$$${\displaystyle S^{\prime }\left(0\right)=V_{0}}$ və ${\displaystyle S\left(0\right)=S_{0}}$ məlum olarsa və ${\displaystyle C_{1}=V_{0}}$ və ${\displaystyle C_{2}=S_{0}}$$${\displaystyle S\left(t\right)={\frac {gt^{2}}{2}}+V_{0}t+S_{0}.}$$